INDUKSI MATEMATIKA

INDUKSI MATEMATIKA 

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah cara atau teknik pembuktian secara deduktif dalam matematika.

Pembuktian yang dimaksud adalah pembuktian pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat positif (non negative).

Langkah-langkah Induksi Matematika

Andaikan p(n) adalah sebuah pernyataan dengan variabel bebas n dan n adalah bilangan bulat positif, maka untuk membuktikan bahwa p(n) benar kita perlu melalui 3 langkah sebagai berikut:

1. Tunjukkan bahwa p(1) benar

2. Misalkanlah p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif dengan n ≥ 1

3. Tunjukkan bahwa p(n+1) benar

Contoh Soal Induksi Matematika

1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =

 n(n+1)/2 

Pembahasan 

Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 =

1(1+1)/2 

= 1 (benar)

Misal p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 2 + 3 + … + n =

n(n+1)/2 

benar

Akan dibuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

(n+1) (n+2)/2

Bukti:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

n(n+1)/2 + (n+1)

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

n(n+1)/2 + 2(n+1)/2

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

(n+1) (n+2)/2

(terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n+1)/2

untuk n ≥ 1.

2. Tunjukkan bahwa jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama adalah n2

Pembahasan

Bentuk persamaan : 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2

Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 = n2 = 12 = 1

Misalkan p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 benar

Akan di buktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2

Bukti:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + (2(n+1)–1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 2 – 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)(n+1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2 (terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 untuk n bilangan bulat positif.

Daftar pustaka 

Rumus pintar. Induksi Matematika: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal.