INDUKSI MATEMATIKA

INDUKSI MATEMATIKA 


Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah cara atau teknik pembuktian secara deduktif dalam matematika.

Pembuktian yang dimaksud adalah pembuktian pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat positif (non negative).


Langkah-langkah Induksi Matematika

Andaikan p(n) adalah sebuah pernyataan dengan variabel bebas n dan n adalah bilangan bulat positif, maka untuk membuktikan bahwa p(n) benar kita perlu melalui 3 langkah sebagai berikut:

1. Tunjukkan bahwa p(1) benar

2. Misalkanlah p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif dengan n ≥ 1

3. Tunjukkan bahwa p(n+1) benar


Contoh Soal Induksi Matematika

1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =

 n(n+1)/2 

Pembahasan 

Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 =

1(1+1)/2 

= 1 (benar)


Misal p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 2 + 3 + … + n =

n(n+1)/2 

benar


Akan dibuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

(n+1) (n+2)/2

Bukti:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

n(n+1)/2 + (n+1)

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

n(n+1)/2 + 2(n+1)/2

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

(n+1) (n+2)/2

(terbukti)


Jadi, terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n+1)/2

untuk n ≥ 1.


2. Tunjukkan bahwa jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama adalah n2

Pembahasan

Bentuk persamaan : 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2


Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 = n2 = 12 = 1


Misalkan p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 benar


Akan di buktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2


Bukti:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + (2(n+1)–1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 2 – 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)(n+1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2 (terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 untuk n bilangan bulat positif.


Daftar pustaka 

Rumus pintar. Induksi Matematika: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal. 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Identitas trigonometri

Gambar
  Identitas trigonometri Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstanta anggota domain fungsinya. Domainnya sering tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika demikian maka umumnya yang dimaksud adalah himpunan bilangan real. Namun dalam trigonometri identitas yang memuat fungsi tangens, kotangens, sekans dan kosekans domain himpunan bilangan real ini sering menimbulkan masalah ketakhinggaan. Karena itu maka dalam hal tersebut, meskipun tidak dinyatakan secara eksplisit, maka syarat terjadinya fungsi tersebut merupakan starat yang perlu diperhitungkan. rumus identitas trigonometri Kebenaran suatu relasi atau suatu kalimat terbuka sebagai suatu identitas perlu diverifikasi atau dibuktikan berdasar aturan atau rumus dasar yang mendahuluinya. CONTOH SOAL IDENTITAS TRIGONOMETRI: Contoh 1: (Pembuktian dilakukan dengan mengubah bentuk ruas kanan untuk disederhanakan
Baca selengkapnya

Determinan dan invers matriks

Gambar
Determinan Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga kalau kita gambarkan bentuk matriksnya, akan membentuk bangun layaknya persegi. Misalnya, terdapat suatu matriks yang kita beri nama matriks A. Determinan matriks A bisa ditulis dengan tanda det (A), det A, atau |A|. Nah, cara mencari determinan suatu matriks juga berbeda-beda, tergantung dari ordonya. Determinan Matriks Ordo 2x2 Misalkan Adalah matriks berordo 2x2. Elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan elemen b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dapat diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua. Contoh soal Tentukanlah determinan matriks berikut! Pembahasan: Determinan Matriks Ordo 3x3 Misalkan  Adalah matriks berordo 3x3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu
Baca selengkapnya

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

Gambar
  A. INTEGRAL TAK TENTU Integral merupakan anti turunan atau kebalikan dari turunan yang berfungsi untuk menentukan daerah, volume, titik pusat, dan lainnya. Kalau suatu fungsi f(x) dibalik menjadi f’(x) maka itu merupakan turunan. Nah, jika f’(x) dibalik lagi menjadi f(x), maka itu merupakan integral.  Sebelum ke rumus integral tak tentu, perlu paham konsep turunan nih. Nih kasih bayangin dikit tentang turunan secara umum. y= X3 Turunan dari soal ini berapa? dydx = 3×2 Setelah diturunkan seperti ini, lalu dikali silang. dy = 3×2 dx  d(X3) = 3×2 dx Bisa dilihat ya, y diganti dengan X3 Nah, dari sini bisa kita simpulkan ya cara mencari turunan bentuknya akan seperti ini nih. Turunan dari X2 akan menjadi d(X2) = 2x dx Oke, konsep turunan udah ingat lanjut ke materi integral tak tentu lagi. Coba deh perhatikan antara turunan dan integral di bawah ini. Turunan: Sekarang kita balik, dikalikan silang ya: df(x) = f’(x)dx Kita tambahkan aja lambang integral (∫), menjadi: ∫df(x) = ∫f’(x)dx
Baca selengkapnya