INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

Januari 07, 2023

A. INTEGRAL TAK TENTU

Integral merupakan anti turunan atau kebalikan dari turunan yang berfungsi untuk menentukan daerah, volume, titik pusat, dan lainnya. Kalau suatu fungsi f(x) dibalik menjadi f’(x) maka itu merupakan turunan. Nah, jika f’(x) dibalik lagi menjadi f(x), maka itu merupakan integral.

Sebelum ke rumus integral tak tentu, perlu paham konsep turunan nih. Nih kasih bayangin dikit tentang turunan secara umum.

y= X3 Turunan dari soal ini berapa?

dydx = 3×2 Setelah diturunkan seperti ini, lalu dikali silang.

dy = 3×2 dx

d(X3) = 3×2 dx Bisa dilihat ya, y diganti dengan X3

Nah, dari sini bisa kita simpulkan ya cara mencari turunan bentuknya akan seperti ini nih.

Turunan dari X2 akan menjadi d(X2) = 2x dx

Oke, konsep turunan udah ingat lanjut ke materi integral tak tentu lagi.

Coba deh perhatikan antara turunan dan integral di bawah ini.

Turunan:

Sekarang kita balik, dikalikan silang ya:

df(x) = f’(x)dx

Kita tambahkan aja lambang integral (∫), menjadi:

∫df(x) = ∫f’(x)dx

∫f’(x)dx = f(x)+C

Pengertian integral tak tentu (indefinite integral) merupakan suatu fungsi baru yang punya turunan dari fungsi aslinya dan fungsi tersebut belum memiliki nilai pasti. Itulah mengapa dalam integral tak tentu ada konstanta (C).

Rumus Integral Tak Tentu

Oke, kita tahu kalau integral tak tentu berarti nilai atau batasannya belum pasti, sehingga ada nilai konstanta di dalamnya. Sekarang, mari kita definisikan seperti apa sih rumus dasar integral tak tentu? Perhatikan rumus di bawah ini.

Sifat-Sifat Integral Tak Tentu

Pengertian udah tahu, rumus juga udah tahu, kurang lengkap rasanya kalau kita gak mengenal sifat-sifat dari integral tak tentu. Berikut adalah sifat-sifat integral tak tentu:

B. TEKNIK PENGINTEGRALAN

Metode Subsitusi

Apa itu metode substitusi dalam teknik pengintegralan ??? Berikut ini merupakan maksud dari substitusi dalam teknik pengintegralan.

Integral dalam bentuk

∫f(g(x))g′(x)dx

dapat dituliskan sebagai berikut.

∫f(u)du

dengan substitusi u = g(x) dan du = g'(x) dx. Jika F adalah anti-turunan f, maka

∫f(g(x))g′(x)dx

=∫f(u)du

=F(u)+C

Keberhasilan metode ini sangat tergantung dari pemisalan yang tepat dari bagian integran sebagai u sehingga rumus-rumus dasar pengintegralan dapat digunakan. Bagi integral berbatas atau integral tentu, metode substitusi dapat dalam bentuk langsung mengubah batas integralnya seperti berikut ini:

∫baf(g(x))g′(x)dx=∫u=g(b)u=g(a)f(u)du

CONTOH 1

Tentukan integral berikut ini:

∫x210−x3−−−−−−√dx

Jawab:

Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:

Memisalkan:

u=10−x3, maka

du=−3x2dx

Sehingga akan menjadi

=13∫u−−√du

=13∫u12du

=13.23.u32+C

=29(10−x3)10−x3−−−−−−√

=−20910−x3−−−−−−√+2x310−x3−−−−−−√

Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk ax+b−−−−−√n disebut ketakrasionalan linear, karena (ax + b) berbentuk linear dalam peubah x, tetapi bentuk linear itu berada di bawah tanda akar. Jika bentuk ketakrasionalan linear semacam ini menjadi integran dari suatu integral, maka substitusi akan menghilangkan tanda akarnya.

un=ax+b

Apabila integran mengandung beberapa pangkat pecahan dari peubah x, substitusi un=x seringkali sangat efektif. Dalam hal ini n adalah kelipatan persekutuan terkecil penyebut dari pangkat.

Tentukan integral berikut ini.

∫xx−7−−−−−√5dx

Jawab:

Untuk menjawab soal nomor 3 ini sama seperti contoh-contoh sebelumnya. Kita tentukan dahulu nilai u dan du-nya. Seperti berikut ini:

u=x−7−−−−−√5

u5=x−7→5u4du=dx

x=u5+7

Sehingga

=∫(u5+7)(u)(5u4)du

=∫(u5+7)5u5du

=∫(5u10+35u5)du

=51u11+356u6+C