Sistem persamaan dan pertidaksamaan kuadrat—linear dan beberapa contoh soal nya

Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua disebut sistem persamaan linear-kuadrat (SPLK). Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.

1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.
2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y=f(x)

atau x=f(y).

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y=f(x) atau x=f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

3. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini, kemudian buatlah grafik penyelesaiannya (sketsa tafsiran geometri).

a. y = x – 1 dan y = x2 – 3x + 2

b. y = x – 3 dan y = x2 – x – 2

c. y = −2x + 1 dan y = x2 – 4x + 3

Jawab:

a. Subtitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, sehingga diperoleh:

⇒ x – 1 = x2 – 3x + 2

⇒ x2 – 3x – x + 2 + 1 = 0

⇒ x2 – 4x + 3 = 0

⇒ (x – 1)(x – 3) = 0

⇒ x = 1 atau x = 3

Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1.

Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 → (1, 0)

Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 → (3, 2)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0), (3,2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 1 memotong parabola y = x2 – 3x + 2 di dua titik yang berlainan yaitu di (1, 0) dan di (3, 2). Perhatikan gambar di bawah ini.

b. Subtitusikan y = x – 3 ke y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ x – 3 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x – x – 2 + 3 = 0

⇒ x2 – 2x + 1 = 0

⇒ (x – 1)2 = 0

⇒ x = 1

Nilai x = 1 disubtitusikan ke persamaan y = x – 3 sehingga didapatkan

⇒ y = 1 – 3 = −2 → (1, −2)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, −2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 3 menyinggung parabola y = x2 – x – 2 di titik (1, −2). Perhatikan gambar di bawah ini.

c. Subtitusikan y = −2x + 1 ke  y = x2 – 4x + 3, diperoleh

⇒ −2x + 1 = x2 – 4x + 3

⇒ x2 – 4x + 2x + 3 – 1 = 0

⇒ x2 – 2x + 2 = 0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real, karena D = (−2)2 – 4(1)(2) = −4 < 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, ditulis ∅. Tafsiran geometrinya, garis y = −2x + 1 tidak memotong maupun menyinggung parabola y = x2 – 4x + 3. Perhatikan gambar berikut.

Sistem pertidaksamaan kuadrat—linear 

Sebelum membahas sistem pertidaksamaan, akan dibahas terlebih dahulu secara tersendiri pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel.
Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu.
Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier y ≤ –2x + 6, dengan x dan y anggota real.
Jawab

Apabila daerah penyelesaian pertidaksamaan linier diketahui dan garis batasnya melalui dua titik tertentu, maka pertidaksamaan liniernya dapat ditentukan.
Jika kedua titik yang diketahui berada pada sumbu-X dan sumbu-Y, maka persamaan liniernya ditentukan dengan rumus:

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut:

Sedangkan pertidaksamaan kuadrat dua variabel (x dan y) merupakan suatu pertidaksamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi dua
Secara umum bentuk fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dan grafiknya berbentuk parabola. Untuk menggambar grafiknya, diperlukan langkah-langkah tersendiri, yakni :
(1) Menentukan titik potong dengan sumbu x , syaratnya y = 0
(2) Menentukan titik potong dengan sumbu y, syaratnya x = 0
(3) Menentukan titik maksimum/minimum fungsi, yaitu

(4) Menggambar grafik fungsi

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

04. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat y > x2 – 8x + 12
Jawab

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
x2 – 8x + 12 = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
x = 6 dan x = 2 Titik potongnya (2, 0) dan (6, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = x2 – 8x + 12
y = (0)2 – 8(0) + 12
y = 12 Titik potongnya (0, 12)

(3) Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 8x + 12

(4) Gambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)


Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu
a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2)
b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q
Aturan ini dipakai untuk menyusun pertidaksamaan kuadrat jika diketahui gambar daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

Pada sistem pertidaksamaan linier dan kuadrat, kedua pertidaksamaan tersebut (linier dan kuadrat) dipadukan dalam satu sistem koordinat Cartesius. Sehingga daerah penyelesaiannya adalah irisan dari daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
08. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8 dalam tata koordinat Cartesius,

Jawab
Pertama akan digambar daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 12

Selanjutnya digambar juga daerah penyelesaian y ≤ –x2 + 2x + 8, dengan langkah langkah :
Menentukan tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
–x2 + 2x + 8 = 0
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x = –2 dan x = 4 . Titik potongnya (–2 0) dan (4, 0)

Menentukan tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = –x2 + 2x + 8
y = –(0)2 + 2(0) + 8
y = 8 . Titik potongnya (0, 8)

Menentukan titik maksimum fungsi y = –x2 + 2x + 8

Menggambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Irisan dari kedua daerah penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8
Gambar daerahnya adalah sebagai berikut:

Daftar pustaka 

Blogmipa, Matematika. Matematika.com. 2018. 2017. Kumpulan soal dan jawaban SPLK. Sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat.