BARISAN DAN DERET

 BARISAN DAN DERET

A. Barisan dan deret aritmatika

barisan aritmatika adalah suatu baris di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yakni b. Misalnya:

Un – U(n-1) = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Rumus Barisan Aritmatika

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:

Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b

Selain mencari rumus suku ke-n, adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmatika, yakni:

Ut = ½ (a + Un)

Keterangan:

Un = suku ke-n

a = U1

Un-1 = suku sebelum suku ke-n

b = beda

Contoh Soal Barisan Aritmatika

Soal 1

Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Diketahui:

a = 7

b= -2

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U40 = 7 + (40-1)(-2)

= 7 + 39 . (-2)

= 7 + (-78)

= – 71

Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

Soal 2

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Diketahui:

a = 12

b = 2

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U20 = 12 + (20-1)2

= 12 + (9)2

= 12 + 38

= 50

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

Soal 3

Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah...

Diketahui:

Gaji pertama = a = Rp3.000.000,00

Kenaikan gaji tiap tahun = b = Rp.500.000

Gaji tahun kesepuluh = U10

Jumlah gaji selama sepuluh tahun = S10

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U10 = 3.000.000 + (10 - 1)500.000

= 3.000.000 + (9 × 500.000)

= 3.000.000 + 4.500.000

= 7.500.000

Jadi, gaji pegawai yang didapatkan pada tahun kesepuluh adalah sebesar Rp7.500.000,00

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmatika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pertama hingga suku ke-n barisan aritmatika tersebut bisa dihitung sebagai:

Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)

atau

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Apabila yang diketahui hanya nilai a, suku pertama serta nilainya merupakan suku ke-n, jadi nilai deret aritmatinya adalah:

Sn = n/2(a + Un)

Rumus Deret Aritmatika

Berikut rumus deret aritmatika, yakni:

Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)

Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:

Un = Sn – Sn-1

Keterangan:

Un = suku ke-n

a = U1

Un-1 = suku sebelum suku ke-n

b = beda

Contoh Soal Deretan Aritmatika

Soal 1

Suatu bentuk deret aritmatika adalah 5, 15, 25, 35, …. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Diketahui:

n = 10

U1 = a = 5

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Jawaban:

Sn = (2a + (n-1) b )

S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)

= 5 ( 10 + 9.10)

= 5 x 100 = 500

Jadi, jumlah S10 dalam deret aritmatika tersebut, yakni 500.

Soal 2

Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertamanya adalah 10 dan suku ke-enam adalah 20. Lalu, tentukan:

Beda deret aritmetika tersebut.

Tuliskan deret aritmetika tersebut.

Jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut.

Jawaban:

Beda deret aritmatika tersebut:

Un = a+(n-1)b

U6= a+(6-1) b

20= 10+(5)b

b= 10/5 = 2

Jadi, beda deret aritmatika tersebut adalah 2.

Deret aritmatikanya adalah:

10+12+14+16+18+20+…+Un

Jumlah suku ke-enam, S6 adalah:

Sn =n/2 (2a+(n-1) b)

S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)

=3(20+10)

=90

Jadi, jumlah Suku ke-enam deret tersebut adalah 90.

B. Barisan dan deret geometri

Barisan geometri merupakan barisan bilangan dimana dua suku yang berurutan memiliki perbandingan yang sama. Perbandingan pada barisan geometri disebut sebagai rasio (r).

Contoh barisan geometri:

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan geometri:

Rumus untuk mencari rasio pada barisan geometri:

Deret geometri merupakan hasil penjumlahan pada barisan geometri. Rumus deret hanya menjumlahkan suku-suku pada barisan geometri hanya sampai suku yang diperintahkan saja.

Contoh deret geometri:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

200 + 100 + 50 + 25 + …

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri:

Contoh :

Diketahui sebuah barisan geometri berikut:

3, 12, 48, 192, …

a. Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri tersebut!

b. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri tersebut!

Pembahasan:

C. Bunga, penyusutan, pertumbuhan dan peluruhan

Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.

Adapun besarnya bunga dipengaruhi oleh: besarnya jumlah uang yang dipinjam, jangka waktu untuk meminjam, dan tingkat suku bunga / persentase. Bunga dibedakan menjadi 2 jenis, yakni bunga Tunggal dan bunga Majemuk. Berikut uraiannya..

Jenis-jenis Bunga

Berikut ini merupakan jenis-jenis bunga menurut besarnya bunga yang dibayarkan untuk setiap periode:

Bunga Tunggal

Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal ini dihitung menurut modal awal.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode;

Rumus besarnya modal pada akhir;

Keterangan:

B = bunga

M0 = modal awal

Mt = modal pada akhir periode – t

t = periode

r = tingkat suku bunga (persentase)

Contoh soal

Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan bunga pinjaman untuk anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukanlah besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!

Jawab:

M0 = Rp. 800.000

r = 2 %

t = 4 bulan

Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:

dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;

Bunga majemuk

Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.

Misalkan, Modal Sejumlah M0, akan diberlakukan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (Mt) bisa dihitung dengan cara:

Sehingga, rumus untuk besar modal pada periode ke-t dengan bunga majemuk yaitu;

keterangan;

Mt = modal pada akhir periode – t

M0 = modal awal

i = tingkat suku bunga

t = periode

Contoh soal

Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?

Jawab:

M0 = Rp. 6.000.000

i = 3% = 0,03

t = 12 bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:

Anuitas

Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

1. Besarnya pinjaman,

2. Besarnya bunga, dan 

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M0 = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:

Besarnya bunga pada periode ke-n;

Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;

dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;

Pertumbuhan

pertumbuhan yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear;

Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!

Jawab;

P0 = 200.000

b = 4% = 0,04

n = 2 jam

Banyaknya bakteri setelah 2 jam;

Pn = P0 (1+b)n

P2 = 200.000 (1 + 0,04)2

P2 = 200.000 (1,0816)

P2 = 216.320 bakteri

Peluruhan

Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear;

Rumus peluruhan eksponensial;

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

P0 = 100 gram

b = 3% = 0,03

Setelah 1 hari, maka ukuran radioaktif tersebut.

Daftar pustaka 

Aku pintar. Zenius. Kurasi. 2021.2022